시계열 데이터에 대한 ARIMA 모델 with R

 

 

총 두 가지의 데이터에 대하여 ARIMA모델을 적합해보았다. 

 

1. 화학반응의 결과물에 대한 시간 별 데이터 (n=197)
2. 미국의 실업자에 관한 월 별 데이터 (n=500)

 

 

분석목적: 

 

시간에 따라 측정된 두 종류의 시계열 데이터에 대하여 

자주 사용되는 ARIMA(p,d,q)모델을 적합하고 자귀회귀계수(p), 차분계수(d), 이동평균계수(q)를 추정한다. 

경우에 따라 계절성이 관측되면, seasonal ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)[m] 모델을 사용하기로 한다. 

 

 

 

 

 

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첫 번째 데이터 :  Chemical process concentration readings:  Every two hours (n = 197)

 

 

<원본 데이터에 대한 시계열 plot>

 

<원본 데이터에 대한 시계열 ACF, PACF>

 

 

- ACF가 천천히 감소한다고 판단된다.(-> 비정상성) 차분을 적용한다.

 

<1 차 차분 데이터에 대한 ACF, PACF>

 

ACF는 cut off after lag1, PACF는 지수적 감소로 판단된다.

 

따라서 IMA(1,1)모델을 적용해본다.

 

Coefficients(추정량): ma1, –0.6994

 

이제 잔차를 진단한다.

 

< IMA(1,1) 모델의 잔차 plot, ACF, PACF >

 

 

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic of IMA(1,1)
lag	6	12	24	36
P값	0.1102	0.0588	0.1215	0.01937

 

 

잔차의 plot을 관찰하고 Ljung-Box검정을 실시한 결과 잔차가 대체로 정규성과 등분산성을 만족함을 확인 할 수 있다. 그러나 lag 36에서 독립성이 의심된다.

 

다른 가능성으로, 차분(d=2)인 모델과,

1차 차분 시계열의 ACF와 PACF가 모두 지수적으로 감소일 때의 ARIMA(1,1,1)모델을 적합하고 잔차를 진단해보자.

 

 

 

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우선, 차분(d=2)인 모델이다.

<2 차 차분 데이터에 대한 시계열 ACF, PACF>

 

 

ACF는 cut off after lag1, PACF는 지수적 감소로 판단된다.

 

따라서 IMA(2,1)모델을 적용해본다.

Coefficients(추정량): ma1, -1.0000

 

이제 잔차를 진단한다.

 

< IMA(2,1) 모델의 잔차plot, ACF, PACF >

 

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic of IMA(2,1)
lag	6	12	24	36
P값	<4.333e-06	<3.533e-05	<3.261e-06	<3.626e-08

 

IMA(2,1)모델은 잔차가 정규성과 등분산성, 독립성을 만족하지 않는다.

 

 

 

 

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이번에는 ARIMA(1,1,1) 을 적합해보자.

 

Coefficients(추정량): ma1; -0.8193, ar1; 0.2155

 

< ARIMA(1,1,1) 모델의 잔차 plot, ACF, PACF >

 

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic of ARIMA(1,1,1)
lag	6	12	24	36
P값	0.8147	0.4877	0.3811	0.08986

 

ARIMA(1,1,1)모델은 잔차가 정규성과 등분산성, 독립성을 만족한다.

 

 

최종결과
Model	sigma^2 추정량	aic	모수의 개수	잔차의 적절함
IMA(1,1) IMA(2,1) ARIMA(1,1,1)	0.1007 0.1371 0.09851	109.02 173.22 106.74	1 1 2	△ X O

 

최종 모형으로 sigma^2추정량과 aic값이 가장 작은 ARIMA(1,1,1)을 선택한다.

 

 

 

 

 

 

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두 번째 데이터 : Monthly series of unemployed females between ages 16 and 19 in US from January 1961 to October 2002. (n = 500)

 

 

< 원본 데이터에 대한 시계열 plot>

 

분산이 시간에 따라 일정하지 않다고 판단, 로그변환을 취한다.

 

< 로그변환 데이터에 대한 시계열 plot >

 

< 로그변환 데이터에 대한 시계열 ACF, PACF>

 

- ACF가 천천히 감소한다고 판단된다.(-> 비정상성) 차분을 적용한다.

 

< 로그변환과 1 차 차분을 한 데이터에 대한 ACF, PACF>

 

acf 확인 결과, lag12에서 유의하며 lag 11&13 대칭이다 따라서 승법계절모형을 고려한다.

 

acf는 12배수차수에서 지수적으로 감소한다고 판단, pacf는 12배수 차수가 lag 12or24에서 cut off 로 판단한다. 따라서 두 가지 경우를 생각할 수 있다.

 

->계절성에 대해 ARIMA(0,1,0)(2,0,0)[12] 또는 ARIMA(0,1,0)(1,0,0)[12]

 

 

 

 

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우선 ARIMA(0,1,0)(2,0,0)[12]를 적합하고 비계절성분(p,q)을 결정하기 위해 ACF, PACF를 확인하자.

 

Coefficients(추정량):

sar1 :-0.2273 sar2 :-0.1794

 

< ARIMA(0,1,0)(2,0,0)[12] 모델의 잔차 plot, ACF, PACF >

 

 

->ACF가 1이후에 cut off, pacf는 지수적으로 감소하는 것으로 판단한다.

 

 

 

따라서 ARIMA(0,1,1)(2,0,0)[12] 적합.

Coefficients(추정량):

ma1: -0.5923 , sar1: -0.1744, sar2: -0.1625

 

 

< ARIMA(0,1,1)(2,0,0)[12] 모델의 잔차plot, ACF, PACF >

 

 

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic of ARIMA(0,1,1)(2,0,0)
lag	6	12	24	36
P값	0.6904	0.5766	0.2754	0.2404

 

ARIMA(0,1,1)(2,0,0)[12]모델은 잔차가 정규성과 등분산성, 독립성을 만족한다.

 

 

 

 

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이번에는

ARIMA(0,1,0)(1,0,0)[12] 모델을 적합하고 비계절성분(p,q)을 결정하기 위해 ACF, PACF를 확인하자.

 

Coefficients(추정량): sar1: -0.1909

 

< ARIMA(0,1,0)(1,0,0)[12] 모델의 잔차 plot, ACF, PACF >

 

->ACF가 1이후에 cut off, pacf는 지수적으로 감소하는 것으로 판단한다.

 

따라서 ARIMA(0,1,1)(1,0,0)[12] 적합.

 

Coefficients(추정량): ma1: -0.5989,  sar1: -0.1500

 

< ARIMA(0,1,1)(1,0,0)[12] 모델의 잔차 plot, ACF, PACF >

 

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic of ARIMA(0,1,1)(1,0,0)
lag	6	12	24	36
P값	0.7181	0.7108	0.02341	0.05537

 

ARIMA(0,1,1)(1,0,0)[12]모델은 잔차가 정규성과 등분산성을 만족하지만 lag24와36에서 독립성이 의심된다.

 

 

 

 

최종결과
Model	sigma^2 추정량	aic	모수의 개수	잔차의 적절함
ARIMA(0,1,1)(2,0,0)[12]	0.00424	-1302.73	3	O
ARIMA(0,1,1)(1,0,0)[12]	0.004347	-1292.83	2	△

 

 

최종 모형으로 aic값이 작고 잔차의 조건을 더 만족하는

ARIMA(0,1,1)(2,0,0)[12]을 선택한다.  

 

 

 

 

 

 

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시계열 데이터는 비정상성과, 관측된 샘플 수의 고유한 특징(한 시점에 하나의 데이터) 때문에 특별하다고 생각합니다. 

시계열 plot과 ACF, PACF에 대한 주관적인 해석을 바탕으로 여러가지 가능성을 의심해보는 태도가 중요하겠습니다. 

 

이 포스팅을 통해 ARIMA모형의 수립 프로세스를 이해하는데 도움이 되기를 바랍니다.